「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---030

★ 平均比率の計算 ★

4063.　平均比率の計算　風鈴　2004/08/26 (木) 01:52
├4067.　Re: 平均比率の計算　青木繁伸　2004/08/26 (木) 08:34
│└4068.　Re^2: 平均比率の計算　青木繁伸　2004/08/26 (木) 08:46
│　└4069.　Re^3: 平均比率の計算　青木繁伸　2004/08/26 (木) 08:57
└4065.　Re: 平均比率の計算　風　2004/08/26 (木) 03:54

4063.　平均比率の計算　風鈴　　2004/08/26 (木) 01:52

平均比率の計算法についての質問です。
例えば，ある学生の2003年度における，月々のアルバイト収入に対する交際費の平均比率を計算するとします。計算方法として，以下の三つの方法があると思われます。
1.それぞれの月におけるアルバイト収入に対する交際費の比率を計算し，次にそれらを合計し12で割る。
2.月間のアルバイト収入の平均値及び交際費の平均値をまず計算し，それらの比率を計る。
3.年間の交際費を合計したものを年間のアルバイト収入を合計したもので割る。
以上三つの方法の内どれが一番適切な方法なのでしょうか。平均比率を考える時，いつも悩まされる問題です。どうか，皆さんの意見を聞かせてください。また，私の質問に関連した文献などありましたらぜひ教えて下さい。

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4067.　Re: 平均比率の計算　青木繁伸　　2004/08/26 (木) 08:34

簡単な例を考えればいいでしょう。

2つの比率の平均値を求めよ

あ　　100　のうちの　10，　比率は 0.1
い　　1000　のうちの　50，　比率は 0.05

#4063 の 1 の方法　　(0.1+0.05)/2 = 0.075
#4063 の 2 の方法　　[(10+50)/2] / [(100+1000)/2] = (10+50) / (100+1000) = 0.05454545
#4063 の 3 の方法　　(10+50) / (100+1000) = 0.05454545
　　　　　　　　　　　= 0.1*(100/1100)+0.05*(1000/1100) ＜－－重み付けの平均

つまり 2 と 3 は同じでしょう？

1 はどういうところが悪いか
あ’　　100　のうちの　10，　比率は 0.1
い’　1000000　のうちの　50000，　比率は 0.05
平均は 0.075

え！！
「い’」は「い」の1000倍もあるのに，平均が同じだって？？
へんでしょう。

要するに，重みを考えないといけませんよということ。データ数にによる重み。
1000の5%と，1000000の5%は同じではないということ。

＃4065 風さんの疑問については

比率の平均と考えるから変な感じがしますが，上の「平均」を求める数式を見ればわかるように，これは，「データをプールした比率」で，それが「重みをつけた比率の平均」でもあるということ。つまり，同じことです。

分母が 100 のものと 1000000 のものをプールする（平均する）ことが，妥当かどうかは別の話。

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4068.　Re^2: 平均比率の計算　青木繁伸　　2004/08/26 (木) 08:46

連続変数の平均値をプールするときも同じです

あ　1,2,3 の3個のデータの平均値 2
い　2,3,4,3,4,5,4 の7個のデータの平均値 3.571429

だれも (2+3.571429)/2 = 2.785715 が平均値だとはいいませんよね

データをプールした平均とは
[(1+2+3)+(2+3+4+3+4+5+4)] / (3+7) = 3.1

重み付けの平均とは
2*(3/10)+3.571429*(7/10) = 3.1

両者同じになりますね。つまり，平均値の平均というのは，元のデータをプールして平均値を求めるか，平均値の重み付きの平均値を求めるというのが正しいやり方です。

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4069.　Re^3: 平均比率の計算　青木繁伸　　2004/08/26 (木) 08:57

なぜ，比率の平均値と，平均値の平均値がおなじ考え方でよいのかと不思議に思った人は，比率というのは 0/1 データの平均値だということを思い出しましょう。

対象者 10 人。昨日のトリビアの泉を見た人が3人　つまり30%
見た人のデータ 1,1,1 と，1が三つ
見なかった人のデータ 0,0,0,0,0,0,0 と，0が七つ
平均値は (1+1+1+0+0+0+0+0+0+0)/10 = 3/10 = 30% ほらね！

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4065.　Re: 平均比率の計算　風　　2004/08/26 (木) 03:54

2がいまいち理解できないのですが，読んだ感じだと，2と3は同じではないですか？
平均比率というのを『月々の比率』の平均と考えれば妥当なのは1じゃないでしょうか？3は月々の平均比率ではなくて，その1年の交際費のアルバイト収入に対する比率ですね。

ただ，比率のように分母自体が確率変数であるものの平均って，こんなにシンプルでいいんでしたっけ？

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