「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---029

★ 対数正規分布の特徴 ★

3404.　対数正規分布の特徴　halu　2004/06/09 (水) 14:31
└3405.　re:対数正規分布の特徴　ひの　2004/06/09 (水) 15:02
　└3406.　Re: re:対数正規分布の特徴　halu　2004/06/09 (水) 16:13
　　└3407.　Re^2: re:対数正規分布の特徴　halu　2004/06/09 (水) 19:40
　　　└3411.　re:対数正規分布の特徴　ひの　2004/06/09 (水) 23:12
　　　　└3415.　Re: re:対数正規分布の特徴　halu　2004/06/10 (木) 09:58
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　　　　　└3416.　Re^2: re:対数正規分布の特徴　j54854　2004/06/10 (木) 10:50
　　　　　　└3431.　Re^3: re:I see　halu　2004/06/11 (金) 09:26

3404.　対数正規分布の特徴　halu　　2004/06/09 (水) 14:31

対数正規分布にぴったりフィットしている理想的な集合の幾何平均値と中央値と最頻値は同じだと思うのですが，どの本を見ても，ネットを探しても書いてありません。
周りの人に，「正規分布で同じだから，軸を対数にしただけなので，一緒になる。」という説明をしても不足のようで納得していただけず，色々考えています。
幾何平均と中央値が同じであると言うことは，EXCEL関数Lognormdist(x，ln(x），ln(y））＝0.5になることで簡単にわかってもらえるのですが，最頻値の証明はどのようにすれば良いでしょうか？

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3405.　re:対数正規分布の特徴　ひの　　2004/06/09 (水) 15:02

　最頻値というのは名義尺度以上のデータに適用する統計量で，実数値データに適用しようとすると，データを階級に区切って集計するしかありません。その場合，最頻値は常にある幅のある「階級」になってしまい，1つの実数値とすることはできません。
　分布関数の特性から説明するなら，「最頻値」ではなく「確率密度関数f(x)の値が最大になるときの x の値」と置き換えて考えればよいのではないでしょうか。

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3406.　Re: re:対数正規分布の特徴　halu　　2004/06/09 (水) 16:13

早速お返事ありがとうございます。
説明されていることでとてもよく分かりました。

>分布関数の特性から説明するなら，「最頻値」ではなく「確率密度関数f(x)の値が最大になるときの x の値」と置き換えて考えればよいのではないでしょうか。

f(X)を微分して0となる解が幾何平均値であるということを証明すれば良いと言うことですね。
やってみます。どうもありがとうございました。

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3407.　Re^2: re:対数正規分布の特徴　halu　　2004/06/09 (水) 19:40

> f(X)を微分して0となる解が幾何平均値であるということを証明すれば良いと言うことですね。

やってみました。最大にするxと幾何平均値は違いました。
「正規分布で同じだから，軸を対数に変えただけだから．．」という説明が通じないのが良く分かりました。私の勘違いです。
あと，分かったのは，対数正規分布では，必ず幾何平均の方が，最大にするxの方より大きいと言うこと。
順番としては，確率密度を最大にするx<幾何平均=中央値<期待値です。
どうもありがとうございました。

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3411.　re:対数正規分布の特徴　ひの　　2004/06/09 (水) 23:12

> 順番としては，確率密度を最大にするx<幾何平均=中央値<期待値です。

　意外な結果ですね。度数分布をとってヒストグラムを書く場合，横軸（階級の軸）を対数にするかノーマルスケールにするかで最頻値が違ってきますが，確率密度関数で考えても同じようなことは起こらないでしょうか？算術平均と幾何平均があるように，確率密度関数を最大にするxも2種類あるのではないでしょうか？

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3415.　Re: re:対数正規分布の特徴　halu　　2004/06/10 (木) 09:58

> > 順番としては，確率密度を最大にするx<幾何平均=中央値<期待値です。

> 　意外な結果ですね。

もしよろしければ，どう意外だと思われるのか教えていただければと思います。
順番は，クリスタルボールで，母数を色々変化させ確かめていますので，おかしくはないとは思っているのですが。

>度数分布をとってヒストグラムを書く場合，横軸（階級の軸）を対数にするかノーマルスケールにするかで最頻値が違ってきますが，確率密度関数で考えても同じようなことは起こらないでしょうか？
>算術平均と幾何平均があるように，確率密度関数を最大にするxも2種類あるのではないでしょうか？

この理解は，ノーマルの最頻値（Median)と対数軸で現した場合EXP（LOG(Median'))の値とが違っているということですか？私もやってみますが，そういうことがあるのでしょうか？

対数正規分布は奥が深いと思うのは私だけでしょうか？

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3423.　re:対数正規分布の特徴　ひの　　2004/06/10 (木) 21:07

> もしよろしければ，どう意外だと思われるのか教えていただければと思います。

　幾何平均のところで確率密度関数の値が最大になると漠然と考えていたからです。あなたの計算を信用しないという意味ではありません。

> この理解は，ノーマルの最頻値（Median)と対数軸で現した場合EXP（LOG(Median'))の値とが違っているということですか？私もやってみますが，そういうことがあるのでしょうか？

　この点についてはj54854さんがコメントしてくださっていますので私が付け加えることはありません。なお，Medianは中央値ですね（最頻値はMode）。

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3416.　Re^2: re:対数正規分布の特徴　j54854　　2004/06/10 (木) 10:50

対数正規分布にしたがう確率変数をXとして，さらに

Z=logX

としますと，Zが正規分布しにたがうことになります。

f(Z)をZがしたがう正規分布の確率密度関数，g(X)をXの確率密度関数とすると

g(X)=f(Z)

と思うところに間違いがあって，実際は

g(X)dX=f(Z)dZ

となります（等しいのは確率密度ではなくで確率であります）。dZ/dX=1/Xなので

g(X)=f(Z)/X

となるわけです。1/Xがきいてきますので，g(X)を最大にするXが，f(Z)を最大にするZから計算したexpZよりも小さくなるのが納得できると思いますよ。

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3431.　Re^3: re:I see　halu　　2004/06/11 (金) 09:26

おー，ジーニアス！
ひのさん，j54854さんありがとうございました。

mode<geomode=median=geomean<mean
なんですね。

クリスタルボールでは，最頻値の説明でこのように記されていました。
「Crystal Ball メモ: 連続分布を使用する場合，予測値は厳密に等しい二つの値をとらないのが普通です。このとき Crystal Ball は，最頻値に “---” を表示して特定できなかったことを示します。」

最頻値と幾何最頻値とを分ければ最頻値は一つになりますよね。

また，誤解があれば教えてください。
どうもありがとうございました。

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