「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---029

★ 様々なさいころを振ったとき ★

3336.　様々なさいころを振ったとき　kitasue　2004/06/03 (木) 14:44
└3339.　Re^2: 様々なさいころを振ったとき　kitasue　2004/06/03 (木) 21:51
　├3342.　Re様々なさいころを振ったとき　ひの　2004/06/03 (木) 23:17
　│└3343.　Re: Re様々なさいころを振ったとき　kitasue　2004/06/04 (金) 05:41
　│　├3345.　Re^2: Re様々なさいころを振ったとき　青木繁伸　2004/06/04 (金) 11:15
　│　└3344.　Re様々なさいころを振ったとき　ひの　2004/06/04 (金) 09:41
　└3341.　Re^3: 様々なさいころを振ったとき　青木繁伸　2004/06/03 (木) 23:10

3336.　様々なさいころを振ったとき　kitasue　　2004/06/03 (木) 14:44

　はじめまして。初歩的な質問で恐縮ですが，「この本を見よ」でも結構ですので，何らかのご教示がいただければ幸いです。
　袋の中に大量に様々な形のさいころが入っていたとします。この袋の中から無作為にさいころを取り出し，そのさいころを振って，出た目を記録するのを繰り返したとします。このとき，出た目を足していくと，その値は，さいころの出目の期待値を足していった値に近づいていくのでしょうか？
　さいころが一つしかなければ，そしてその出目の期待値が3.5ならば，そのさいころを繰り返し振れば，出目を足していった値は，3.5×振った回数に近づいていきますよね（大数の弱法則というのでしょうか）。知りたいのは，振るさいころが，振るたびに違う場合です。振ったさいころの出目の期待値がそれぞれ異なる場合です。
　以上，よろしくお願いいたします。

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3339.　Re^2: 様々なさいころを振ったとき　kitasue　　2004/06/03 (木) 21:51

　青木様，お返事ありがとうございます。どうも質問の趣旨がよく伝わらなかったようです。ごめんなさい。
　私が考えているのは，さいころを袋に戻さないやり方です。たくさんのさいころを次から次へと一回づつ振っていくのです。
　ひとつのさいころをたくさん振ると，出目の合計は，期待値×振った回数に近づいていきますよね。これが大数の法則だと思うのですが，たくさんのさいころを次から次へと一回づつ振っていった場合も，出目の合計は，各さいころの期待値を足していった値に近づいていくのかという疑問です。
　試しにExcelでシミュレーションしてみると，2,000個くらいのさいころを振ると，出目の合計が，各さいころの期待値の合計に，だいたい等しくなりました。
　これの理論的な根拠は，大数の法則なのでしょうか？

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3342.　Re様々なさいころを振ったとき　ひの　　2004/06/03 (木) 23:17

＞ですが，たくさんのさいころを次から次へと一回づつ振っていった場合も，出目の合計は，各さいころの期待値を足していった値に近づいていくのかという疑問です。

　和の期待値＝期待値の和

というのは期待値の基本的な性質ですね。証明はたとえば，

http://www.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/03/agora03.pdf

に書かれています。

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3343.　Re: Re様々なさいころを振ったとき　kitasue　　2004/06/04 (金) 05:41

　青木様，ひの様。お返事ありがとうございます。質問の趣旨が伝わったのか伝わってないのかよく判らないので，これで最後にします。
　例えば，さいころnは0か1か．．．nの目が同じ確率で出るさいころだとします。このようなさいころが大量にあって，さいころ1，さいころ2．．．と順に一回づつ振っていった場合，さいころをn個振ったときの実際に出た目の合計は，さいころをn個振ったときの期待値の和n×（n＋1）／4に，n→∞のとき近づいていくのか。それは大数の法則か。という質問でした。
　質問の趣旨が伝わっていたのでしたら，お返事はすでに頂戴しておりますので，新たなレスポンスには及びません。どうもありがとうございました。

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3345.　Re^2: Re様々なさいころを振ったとき　青木繁伸　　2004/06/04 (金) 11:15

> 質問の趣旨が伝わったのか伝わってないのかよく判らないので，

伝わりません。また新たなことを書いていますし。

> 　さいころをn個振ったときの期待値の和n×（n＋1）／4に，n→∞のとき近づいていくのか。

こんなこと，今までの質問のどこにも書かれていませんでしたよね。書かれていないことがわかるわけありません。

> さいころnは0か1か．．．nの目が同じ確率で出るさいころだとします。

これも意味不明瞭なんです。
「n種類のサイコロがあって，i という種類のさいころは，0,1,...,i　という(i+1) 種類の目が等確率で出る（i=1,...,n）」
ということですか？だったら，そのように書かないとわかりません。

もしそういうことで，n 種類のサイコロをそれぞれ一回ずつ振ったとき，実際に出た目の合計はいくつになるかということなら，合計の理論値は
(0*1/2+1*1/2)+(0*1/3+1*1/3+2*1/3)+…+(0*1/(n+1)+1*1/(n+1)+…n*1/(n+1))
=0.5+1+1.5+2+2.5+…
でしょうから，n が無限になったら和も無限ですね。

> さいころをn個振ったときの期待値の和n×（n＋1）／4

ではないですし。

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3344.　Re様々なさいころを振ったとき　ひの　　2004/06/04 (金) 09:41

> 　例えば，さいころnは0か1か．．．nの目が同じ確率で出るさいころだとします。このようなさいころが大量にあって，さいころ1，さいころ2．．．と順に一回づつ振っていった場合，さいころをn個振ったときの実際に出た目の合計は，さいころをn個振ったときの期待値の和n×（n＋1）／4に，n→∞のとき近づいていくのか。それは大数の法則か。という質問でした。

　この例についてだけ言えば，近づいてはいかないし大数の法則にも当てはまらないと思います。実際にシミュレーションしてみれば分かると思います。

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3341.　Re^3: 様々なさいころを振ったとき　青木繁伸　　2004/06/03 (木) 23:10

まだ余りよくわかっていないかもしれませんが，追加の説明を読んだ限りは，当たり前のことが起きているだけのことで，それは大数の法則なんでしょうね。

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