「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---028

★ 確率計算 ★

2879.　確率計算　文系学生　2004/04/06 (火) 01:34
├2900.　Re: 確率計算　ときた　2004/04/08 (木) 16:41
│└2924.　Re^2: 確率計算　文系学生　2004/04/10 (土) 10:22
└2880.　Re: 確率計算　kazu　2004/04/06 (火) 12:56
　├2890.　Re^2: 確率計算　青木繁伸　2004/04/07 (水) 17:07
　│└2895.　Re^3: 確率計算　ときた　2004/04/07 (水) 20:05
　├2886.　Re: 確率計算　ひの　2004/04/06 (火) 17:29
　│└2887.　Re^2: 確率計算　j54854　2004/04/06 (火) 20:45
　│　└2888.　Re: 確率計算　ひの　2004/04/06 (火) 23:11
　└2884.　Re^2: 確率計算　ときた　2004/04/06 (火) 17:04

2879.　確率計算　文系学生　　2004/04/06 (火) 01:34

統計というか，確率の問題かもしれませんが，どのように考えれば計算できるのか，アドバイスいただけるとうれしいです．

1～1,000までの，1,000種類の整数値があります．
ここから，n=100の標本を，1回抽出（復元抽出）します．

結果，のべ100の整数値が抽出されますが，復元抽出なので，この100の整数値の中には，同じ整数値が出現する可能性もあるはずです．

このとき，例えば，

・2つずつある整数値が10種類ある
　（のべ100の整数値のうち，整数値の種類は90しかない）

ような状態が起こる可能性を計算したいのです．

「2つあるような整数値が少なくとも1つある」ではなく，「2つあるような整数値が少なくとも10個ある」のように，整数値が重複するケースが「複数」ある場合の計算方法を知りたいです．よろしくお願いします．

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2900.　Re: 確率計算　ときた　　2004/04/08 (木) 16:41

> 統計というか，確率の問題かもしれませんが，どのように考えれば計算できるのか，アドバイスいただけるとうれしいです．
>

高校数学の二項分布はパスカルの三角形。
多項分布はその拡張　で。
Coefficient[(x + y + z)^3, x*x*y] 3 Coefficient[Sum[x[i], {i, 1000}]^100, Product[x[i] , {i, 90}]*Product[x[i] , {i, 10}]] 91138882269476711603221912945572949697964812758185177215422816303923437493388589461856898414215349888919626875807835701417173057536000000000000000000000000 %*Binomial[1000, 10]*Binomial[990, 80]//(1000^100) // N 0.00564311

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2924.　Re^2: 確率計算　文系学生　　2004/04/10 (土) 10:22

多くの皆様のたくさんのお返事に感謝いたします．
ちょっとついていけていないところもありますが，じっくり考えてみます．ありがとうございました．

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2880.　Re: 確率計算　kazu　　2004/04/06 (火) 12:56

モンテカルロシミュレーションじゃだめですか？

Rなら（私もR初心者レベルなんで，ちょっと不安ですが）
x<-rep(9999,10000) for (i in 1:10000){ x[i]<-length(levels(as.factor(sample(1:1000,100,replace = TRUE)))) } length(x[x == 90]) hist(x)
ちなみに
>のべ100の整数値のうち，整数値の種類は90しかないのは上述のコードで1.2%ぐらい。少ないからちょっと時間かけて100000回もやればよいかと？

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2890.　Re^2: 確率計算　青木繁伸　　2004/04/07 (水) 17:07

> x[i]<-length(levels(.....)) 　　　　： > length(x[x == 90])
x[i] には数値の種類数しかはいらないので，以下のようなものも勘定していることになっていると思います。

頻度1の数値が 81 個　　延べ 81 個の数値頻度2の数値が　8 個　　延べ 16 個の数値頻度3の数値が 1 個　　延べ 3 個の数値合計　　　　　 90 個　　　　100 個

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2895.　Re^3: 確率計算　ときた　　2004/04/07 (水) 20:05

数字の種類が90になるタイプは分割数で，
Partitions[10] {{10}, {9, 1}, {8, 2}, {8, 1, 1}, {7, 3}, {7, 2, 1}, {7, 1, 1, 1}, {6, 4}, {6,　 3, 1}, {6, 2, 2}, {6, 2, 1, 1}, {6, 1, 1, 1, 1}, {5, 5}, {5, 4, 1}, {5,　 3, 2}, {5, 3, 1, 1}, {5, 2, 2, 1}, {5, 2, 1, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1, 　 1}, {4, 4, 2}, {4, 4, 1, 1}, {4, 3, 3}, {4, 3, 2, 1}, {4, 3, 1, 1, 1}, {4,2, 2, 2}, {4, 2, 2, 1, 1}, {4, 2, 1, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {3,3, 3, 1}, {3, 3, 2, 2}, {3, 3, 2, 1, 1}, {3, 3, 1, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2, 1}, {3, 2, 2, 1, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 2}, {2, 2, 2, 2, 1, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}} と42タイプあります。 retu[l_] := Join[1 + l, Table[1, {n, 90 - Length[l]}]] kumi[l_] := Length /@ Split[retu[l]] kakuritu[l_] := Times @@ MapThread[ Binomial, {Drop[FoldList[Subtract, 1000, kumi[l]], -1], kumi[l]}]*　 100!/Times @@ Map[#! &, retu[l]] *N[ 10^(-300), 20 ] Map[kakuritu, Partitions[10]]
で，それぞれの確率が計算でき，合計
0.011141193473947972242
では。
100万回あそぶのに，Mac G5で200秒くらいかかりました。

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2886.　Re: 確率計算　ひの　　2004/04/06 (火) 17:29

> モンテカルロシミュレーションじゃだめですか？

　たかだか1000×100通りなんだから，全部しらみつぶしに調べたほうが正確で簡単。もちろん解析的にやれば手で計算できますが。

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2887.　Re^2: 確率計算　j54854　　2004/04/06 (火) 20:45

> > モンテカルロシミュレーションじゃだめですか？
>
> 　たかだか1000×100通りなんだから，全部しらみつぶしに調べたほうが正確で簡単。もちろん解析的にやれば手で計算できますが。

1000×100じゃなくて，1000^100通りのような気が...

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2888.　Re: 確率計算　ひの　　2004/04/06 (火) 23:11

> 1000×100じゃなくて，1000^100通りのような気が...

あ゛そうでした(^^;)。

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2884.　Re^2: 確率計算　ときた　　2004/04/06 (火) 17:04

> モンテカルロシミュレーションじゃだめですか？
>
受験数学で，
Binomial[1000, 10]*Binomial[990, 80]*(100!)/((2^10)*(1000^100 )) で 0.00564310698 toru[l_] := 　Module[{ll = Length /@ Split[Sort[l]]}, (Count[ll, 2] == 10)~　And~(Count[ll, 1] == 80)] Table[Table[Random[Integer, {1, 1000}], {i, 100}], {j, 100000}]; Select[%, toru]; Length[% ] 586
と100万回くらい遊ばないと大数の法則が効いてこない。

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