「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---025

★ 複利計算での幾何平均 ★

84.　複利計算での幾何平均　田北陽一　2003/06/09 (月) 17:47
└85.　Re: 複利計算での幾何平均　青木繁伸　2003/06/09 (月) 18:11
　├148.　Re^2: 複利計算での幾何平均　田北陽一　2003/06/17 (火) 12:47
　└90.　Re^2: 複利計算での幾何平均　青木繁伸　2003/06/09 (月) 21:58

84.　複利計算での幾何平均　田北陽一　　2003/06/09 (月) 17:47

　複利計算における年率の計算に関して質問があります。
例えば，
1997年 A円
1998年 B円
1999年 C円
2000年 D円
　というように金額が推移したとします。このときの平均伸び率
（年率）の計算は
　★:　(D/A)^(1/3)-1
で計算できると思います。ただ，対前年の伸び率が既に計算されているとき，その各々の伸び率の幾何平均をとれば，平均伸び率が算出されると理解していました。
　たとえば，ここでは対前年伸び率は
　1998年　(B/A)-1
1999年　(C/B)-1
2000年　(D/C)-1
ですから，Excelの幾何平均を算出する関数Geomeanを使用してGeomean(1998年の伸び率,1999年の伸び率,2000年の伸び率）としました。しかし，ここで出した値は★の計算で出した値と同じになるはずなのですが，同じになりません。どなたかわかりましたらよろしくお願い致します。

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85.　Re: 複利計算での幾何平均　青木繁伸　　2003/06/09 (月) 18:11

例を挙げて説明した方がわかりやすいでしょうか。

　　　　　　値　　前年比
1年目　100
2年目　106　　1.06 倍
3年目　120　　1.132075472
4年目　150　　1.25

3年間の伸び率はいくつかを求めるときに
(1.06+1.132075472+1.25)/3 = 1.147358491
という算術平均ではダメですよということです。

そうではなくて，幾何平均であるべしということ。すなわち，
(1.06 * 1.132075472 * 1.25) ^ (1/3) = 1.144714243

(1.06 * 1.132075472 * 1.25) = 1.5 は
最終年度の値 / 初年度の値 =　150 / 100 = 1.5 になりますね。

つまり，演算対象として，「伸び率」を使ったのが間違いですね。

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148.　Re^2: 複利計算での幾何平均　田北陽一　　2003/06/17 (火) 12:47

青木先生
ご回答ありがとう御座います。

>3年間の伸び率はいくつかを求めるときに
>(1.06+1.132075472+1.25)/3 = 1.147358491
>という算術平均ではダメですよということです。

　はい，伸び率の計算で算術平均を使ってはいけないことは存じております。

>そうではなくて，幾何平均であるべしということ。すなわち，
>(1.06 * 1.132075472 * 1.25) ^ (1/3) = 1.144714243

はい。
実は私は
(0.06*0.132075472*0.25)^(1/3)=0.125595

としていました。それで3年間の平均伸び率は12.56%と出していたのです。言葉の上では，1.06も6%も同じ伸び率?として扱われることがあるように思いますが，その使い分けを私が間違ったということだったと思います。
数式からキチンと理解していれば，多分問題なかったのでしょう。

　ありがとうございました。

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90.　Re^2: 複利計算での幾何平均　青木繁伸　　2003/06/09 (月) 21:58

さっき，帰宅の途中の車の中でこんなことを考えていたのです。

ある国の総理大臣の過去3年間の経済施策の成果を評価した。
（小数の数値は表示桁の下で四捨五入）

　　　経済指標　前年比　前後比　平均前年比 1年目　 100 2年目　 106 1.06 3年目　 120 1.13 4年目　 150 1.25 　 1.5 　　 1.14
別の国の総理大臣の成績

　　　経済指標　前年比　前後比　平均前年比 1年目　 100 2年目　　90 0.90 3年目　 210 2.33 4年目　 150 0.71 　 1.5 　　 1.14
両方とも同じ成績だけど（要するに，最後の年の成績を最初の年の成績で割り算），途中が大違い。
後者は波瀾万丈，うまくいくときも，大失敗もあったが，帳尻は合っている。

願わくば，前者の国に住みたい。

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