「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---015

★ 無作為抽出 ★

　27　無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 09:15
　　28　Re: 無作為抽出　　なかはら　　2001/08/10 (金) 10:10
　　　30　Re^2: 無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 10:44
　　　　33　Re^3: 無作為抽出　　なかはら　　2001/08/10 (金) 11:43
　　　29　Re^2: 無作為抽出　　なかはら　　2001/08/10 (金) 10:17
　　　　39　Re^3: 無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 15:51
　　　　31　Re^3: 無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 10:53

27.　無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 09:15

単純無作為抽出は多くの教科書で以下のように説明されています.
「あらゆる可能なk個の標本のうちどの標本も等確率 1/k で抽出する方法」たとえば有限母集団サイズ N=4，標本サイズ n=2 とすると，
Nからnを同時に抽出するやりかたは，

(1) NCn = N! / n!(N-n)! = 4! / 2!(4-2)! = 6 = k

なので.単純無作為抽出とはこの6標本のどれも等確率 1/6
ぼくは，あらゆる可能な標本は，

(2) N^n = 4~2 = 16

種類であり.「どの標本の要素」も等確率 1/16 で抽出するのが単純無作為抽出だと思っていました.(1)の場合，「同時に2個」を抽出する方法はいろいろありますが，「同時」を「重複を許さない」という意味にしたときは非復元抽出になります.4個から1個抽出するときは1/4の確率で，2個目は1/3の確率で抽出され，等確率ではない.(2)はいつも1/4の等確率です.これが「等確率で抽出する単純無作為抽出」だと思ってたけど違う.

標本の要素は(1)のように非復元抽出で，標本の要素が等確率で抽出されなくても，単純無作為抽出という理解でいいのでしょうか.このへん詳細に書いた

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28.　Re: 無作為抽出　　なかはら　　2001/08/10 (金) 10:10

> 単純無作為抽出は多くの教科書で以下のように説明されています.
> 「あらゆる可能なk個の標本のうちどの標本も等確率 1/k で抽出する方法」たとえば有限母集団サイズ N=4，標本サイズ n=2 とすると，
> Nからnを同時に抽出するやりかたは，
>
> (1) NCn = N! / n!(N-n)! = 4! / 2!(4-2)! = 6 = k
>
> なので.単純無作為抽出とはこの6標本のどれも等確率 1/6

1/6 ではないのではないでしょうか?

A,B,C,D さんがいて，このなかから2人を選ぶのは
AB,AC,AD,BC,BD,CD の6通りですが，A さんが選ばれるのはこのうちのAB,AC,AD の3通りだから 1/2 の確率です（B,C,D さんも同じく 1/2 の確率で選ばれます）。この 1/2 は（2人選ぶ）/（4人から）=1/2 でしょう。

上の4人から3人選ぶときは，
ABC,ABD,ACD,BCD の4通りで，B さんが選ばれるのはそのうちの3通りで 3/4 です。これも，（3人選ぶ）/（4人から）=3/4 でしょう?

これはこういう風に考えるといいのではないでしょうか?
N 人の人がくじを引く。当たりくじは n 本。
さて，各人の当たりくじを引く確率は?
答え:n/N 非常に明解(^_^;)

当たりくじを引いた人が調査対象になります。

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30.　Re^2: 無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 10:44

ちょっと書き方も不十分でした.

> A,B,C,D さんがいて，このなかから2人を選ぶのは
> AB,AC,AD,BC,BD,CD の6通りですが，

AA,BB,CC,DDという標本は考えないのでしょうか?.金魚すくいのように「同時に」抽出する場合を前提にするからですか?.ABとBAは同じ標本なので納得できますが.

人間の抽出では，金魚すくいでなく（金魚すくいや，よくかきまぜた玉の箱から一握り--は無作為抽出ではない），1人ずつ抽出しますから乱数を使いますが，非復元抽出では，1番目の人は1/Nの確率で抽出され，2番目の人は1/N-1の確率で抽出され・・・となります.この非復元抽出の時，標本の要素は「等確率」で抽出されていると考えていいのでしょうか?.
抽出前にすべての人が1/Nの確率で抽出される状態にあるだけですよねえ.

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33.　Re^3: 無作為抽出　　なかはら　　2001/08/10 (金) 11:43

スネデッカー・コクランでは，「標本が母集団のごく小部分である場合これら（重複を許す無作為抽出と重複を許さぬ無作為抽出のこと）2つの方法は実際上は同じである。というのは同じものが2回以上標本に現れる確率は無視できるほど小さいから。ところで，本書の全体にわたってこれら2つの方法は区別しないことにする。」と書いてあります。

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29.　Re^2: 無作為抽出　　なかはら　　2001/08/10 (金) 10:17

よく読んでみたら，結果としての標本（セット）が等確率だといっているのですね。
でも，前の発言のようにして標本（対象）を選んだら，結果として，どの標本（セット）も等確率になりますね。

ケンドールの統計学用語事典では，
無作為抽出法:可能な標本が一定の定められた確率で選出されるよう，抽出単位を選ぶ方法。
と書いてありますね。
最初の「標本」は標本のセットのこと，「抽出単位」は母集団の構成要因ですね。

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39.　Re^3: 無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 15:51

> ケンドールの統計学用語事典では，
> 無作為抽出法:可能な標本が一定の定められた確率で選出されるよう，抽出単位を選ぶ方法。
> と書いてありますね。

ありがとうございます.僕も本棚にあった辞典を見てみました.

Simple random sampling :
A form of sampling design in which n distinct units are selected from the N units in the population in such a way that every possible combination of n units is equally likely to be the sample selected .With this type of sampling design the probability that the t th population unit is included in the sample is πi = n/N , so that the inclusion probability is the same for each unit . Designs other than this one may also give each unit equal probability of being included, but obly here does each possible sample of n units have the same probability. [ SMR Chapter 8. ]

Everitt (1998) The Cambridge Dictionary of Statistics .

distinct units って「重複なし」（非復元）が前提ということでしょうかね.
every possible combination of n units とも言っているし・・・.

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31.　Re^3: 無作為抽出　　srs　　2001/08/10 (金) 10:53

> よく読んでみたら，結果としての標本（セット）が等確率だといっているのですね。
> でも，前の発言のようにして標本（対象）を選んだら，結果として，どの標本（セット）も等確率になりますね。

はい.標本の等確率は明確で疑念の余地はありません.

> ケンドールの統計学用語事典では，
> 無作為抽出法:可能な標本が一定の定められた確率で選出されるよう，抽出単位を選ぶ方法。
> と書いてありますね。
> 最初の「標本」は標本のセットのこと，「抽出単位」は母集団の構成要因ですね。

では，標本の要素（抽出単位=母集団の構成要因）はどうでしょう?.サイズをnに固定した後で，要素を1つずつ抽出するときの「等確率」は.

帰着するのは復元抽出と非復元抽出ということだったかな?.
両者で「可能な標本」の数は（nを固定したもとで）異なる.
しかし，両者のいずれでも確かに，標本の等確率は成立するなあ.

なるほど，単純無作為抽出とは，単に「標本の等確率」で定義されるんですね!
標本の要素は復元，非復元2通りある--ということか.

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