「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---013

★ 複合ポアソン? ★

　322　複合ポアソン?　　masato　　2001/05/08 (火) 14:35
　　341　Re: 複合ポアソン?　　あき　　2001/05/11 (金) 19:30
　　　347　Re^2: 複合ポアソン?　　あき　　2001/05/13 (日) 18:17

322.　複合ポアソン?　　masato　　2001/05/08 (火) 14:35

このような問題を解きたいのですが，問題の意味がイマイチよくわかりません。
Let Xi(i=1,2,3,,,,s)be independently distributed with Poisson distribution P(λj) and let T0=ΣXj ,λ=Σλj. Then T0 has the poisson dirtribution P(λ）,and the conditional distribution of T1,,,Ts-1 given T0=t0 is multinomial distribution with n=t0 and Pi=λi/λ.
(Direct computation)
というものです。

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341.　Re: 複合ポアソン?　　あき　　2001/05/11 (金) 19:30

> Let Xi(i=1,2,3,,,,s)be independently distributed with Poisson distribution P(λj) and let T0=ΣXj ,λ=Σλj. Then T0 has the poisson dirtribution P(λ）,and the conditional distribution of T1,,,Ts-1 given T0=t0 is multinomial distribution with n=t0 and Pi=λi/λ.
> (Direct computation)

英語力が未熟なので，誤訳だったらすいません。わたしの解釈ですが，「2行目のThen以前の条件が与えられている場合，Then以降のこと(2つ)を証明しなさい」ってことかな，と思いました。(証明，じゃなくて，単に「成り立ちますよ」って言ってるだけかも…。)
とすると，前半部分のP(λ）までは，ポアソン分布の再生性のことを言ってるんじゃないでしょうか?つまり，
Xj(i=1,2,…s)が独立で，それぞれポアソン分布P(λj)に従っているならば，X1+X2+…+Xjはポアソン分布P(λ1+λ2+…+λj)に従う
ということを，T0とかλとか使って表現してるんじゃないかと。違いますか??
後半部分の多項分布うんぬんのとこは，ぱっと見では分からないですが…。(あと，「Direct computation」って，手で計算しろってこと??)
いかがでしょうか?

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347.　Re^2: 複合ポアソン?　　あき　　2001/05/13 (日) 18:17

少々補足しておきます。
ポアソン分布(に限らず，正規分布でも二項分布でも…)の再生性は，「たたみこみ」の方法を使うと証明できます。確率分布の再生性とかたたみこみとかは，数理統計学の入門書レベルの教科書だったらたいがい載ってると思いますので，見てみられてはどうでしょう。(ちなみにポアソン分布の場合，途中で二項定理を使うと簡単に示せますよ。あれ，サービスし過ぎ!?)
もう一つの方は…，う～ん…。

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