「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---006

★ ベータ分布から変換した分布の期待値・分散の導出 ★

　112　ベータ分布から変換した分布の期待値・分散の導出　　よし　　2000/01/29 (土) 00:20
　　114　Re: ベータ分布から変換した分布の期待値・分散の導出　　中原　　2000/01/29 (土) 10:10
　　　117　Re^2: ベータ分布から変換した分布の期待値・分散の導出　　よし　　2000/01/29 (土) 12:38

112.　ベータ分布から変換した分布の期待値・分散の導出　　よし　　2000/01/29 (土) 00:20

はじめまして。ベータ分布に従う確率変数Xをロジスティック変換し，これをYとします。y=log(x/(1-x))となりますが，このYの期待値，分散を計算したいのですが。
調べたところ，
E[Y]=digamma(r)-digamma(s)
V[Y]=digamma'(r)+digamma'(s)
digammaはガンマ関数の対数を1階微分したもの，
digamma'はdigammaを1階微分したものです。
r,sはベータ分布のパラメータです。

この導出過程がどうしても分かりません。
できましたら，教えてください。また，このことに関する文献等ご存知でしたら，それでも結構です。
よろしくお願いします。

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114.　Re: ベータ分布から変換した分布の期待値・分散の導出　　中原　　2000/01/29 (土) 10:10

> はじめまして。ベータ分布に従う確率変数Xをロジスティック変換し，これをYとします。y=log(x/(1-x))となりますが，

　　x って何ですか。
　　ベータ分布の定義式も一応書いてね（r とか s が後で出てくるし）

> このYの期待値，分散を計算したいのですが。
> 調べたところ，
> E[Y]=digamma(r)-digamma(s)
> V[Y]=digamma'(r)+digamma'(s)
> digammaはガンマ関数の対数を1階微分したもの，
> digamma'はdigammaを1階微分したものです。
> r,sはベータ分布のパラメータです。

　　ガンマ分布の式も一応書いてね

> この導出過程がどうしても分かりません。

もうちょっと簡単な分布の期待値・分散はちゃんと計算できるのでしょうね。

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117.　Re^2: ベータ分布から変換した分布の期待値・分散の導出　　よし　　2000/01/29 (土) 12:38

こんには。
> 　　ベータ分布の定義式も一応書いてね（r とか s が後で出てくるし）
最初にガンマ関数の定義式ですが，(変数yに対して関数をGamma(y)とします。)
TeX形式で書きますと，
Gamma(y)=int_0^infty x^{y-1}*exp(-x) dy
で与えられ，Gamma(y)=(y-1)! の関係式がなりたつものです。
yが整数の時には，Gamma(y) = (y-1)Gamma(y-1) が成り立ちます。

ガンマ関数を用いて，次のベータ関数B(r,s)が定義されます。
r,sは，パラメータです。
B(r,s) = Gamma(r)Gamma(s)/Gamma(r+s)

ベータ分布ですが，確率変数Xとしパラメータがr,sの場合に，密度関数は，
f(x) = B(r,s)^{-1}x^{r-1}(1-x)^{s-1}
と定義されます。

digamma関数は，変数xに対して，
digamma(x) = (d/dx) log(Gamma(x))
と，ガンマ関数の対数を微分したものです。

ロジスティック変換したのちの確率変数の期待値，分散は，積率母関数か，特性関数を用いて導出するのだと思いますが，どうもよく分かりません。
よろしくお願いします。

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