「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---006

★ 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率 ★

　108　多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/01/28 (金) 15:55
　　109　Re: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　青木繁伸　　2000/01/28 (金) 19:56
　　　161　Re^2: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/01/31 (月) 14:11
　　　　163　Re^3: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/01/31 (月) 14:13
　　　　　214　Re^4: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　青木繁伸　　2000/02/02 (水) 12:58
　　　　　　217　Re^5: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/02/02 (水) 15:00

108.　多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/01/28 (金) 15:55

Yahoo で検索してこのページを見つけました。すばらしいですね。
様々なトピックに関してていねいに説明してあるので，大変参考になりました。

ところで，1つ教えて下さい。1次元の正規分布では，μ±1σの範囲に 68.26%,μ±2σの範囲に95.44%, μ±3σの範囲に99.74%のデータが含まれているのは分かるのですが，多次元の正規分布の場合，マハラノビス距離を決めると，その範囲内に落ちる確率は共分散行列によらず，一定に決まるのでしょうか。
もしそうだとすると，2, 3, 4 次元の場合，マハラノビス距離 1, 2, 3 以内に落ちる確率は具体的にいくつになるのでしょうか。どうやって計算するのでしょう。

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109.　Re: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　青木繁伸　　2000/01/28 (金) 19:56

> 多次元の正規分布の場合，マハラノビス距離を決めると，その範囲内に落ちる確率は共分散行列によらず，一定に決まるのでしょうか。

「共分散行列によらず」というのはどういう意味ですか?
マハラノビス距離は共分散行列によりますからね。

それはともかく，マハラノビス距離がわかれば，一意に決まります。
つまり，あるデータ点とデータの平均値間のマハラノビス距離は，「次元数」を自由度とするカイ二乗分布に従います。

> もしそうだとすると，2, 3, 4 次元の場合，マハラノビス距離 1, 2, 3 以内に落ちる確率は具体的にいくつになるのでしょうか。どうやって計算するのでしょう。

例えばエクセルで，
chidist(マハラノビス距離，次元数）
ということで，そのデータ点がその分布に属する確率が求まります。

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161.　Re^2: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/01/31 (月) 14:11

どうもありがとうございます。合点がいきました。

> > 多次元の正規分布の場合，マハラノビス距離を決めると，その範囲内に落ちる確率は共分散行列によらず，一定に決まるのでしょうか。

> 「共分散行列によらず」というのはどういう意味ですか?
> マハラノビス距離は共分散行列によりますからね。

失礼しました，言葉が足りませんでした。まず次元を決め，平均と共分散行列を決めると多次元の正規分布が決まります。それに依存してマハラノビス距離が決まります。マハラノビス距離が一定値 d0 以内に落ちる確率を P(d <= d0) と書くと，この値自体は，もとの正規分布を決定づける共分散行列の設定がどうあろうとも，それに依存せず，次元数と d0 だけで決まる，という認識は正しいのでしょうか，と聞きたかったわけです。どうやらそのようですね。

(つづく)

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163.　Re^3: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/01/31 (月) 14:13

(つづき)

> > もしそうだとすると，2, 3, 4 次元の場合，マハラノビス距離 1, 2, 3 以内に落ちる確率は具体的にいくつになるのでしょうか。どうやって計算するのでしょう。

> 例えばエクセルで，
> chidist(マハラノビス距離，次元数）
> ということで，そのデータ点がその分布に属する確率が求まります。

やってみました。一方，Mathematica で書くと，
Needs["Statistics`NormalDistribution`"]
n = 3 (* 次元 *)
d = 4 (* マハラノビス距離 *)
Integrate[PDF[ChiSquareDistribution[n], x], {x, 0, d}]
こんな感じですね。

ちょっと細かいことですが，マハラノビス距離というのは，

d^2 = (x_i - μ)' Σ^(-1) (x_i - μ)

という定義式における，(d のことではなくて) d^2 そのものを指すのでしょうか。

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214.　Re^4: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　青木繁伸　　2000/02/02 (水) 12:58

> ちょっと細かいことですが，マハラノビス距離というのは，
>
> d^2 = (x_i - μ)' Σ^(-1) (x_i - μ)
>
> という定義式における，(d のことではなくて) d^2 そのものを指すのでしょうか。

そうです。
ユークリッド距離にも，ユークリッドの二乗距離というのがあるので，正しく言えば「マハラノビスの二乗距離」と言うべきかもしれませんが，d^2 の方がよく使われるので，これをマハラノビスの距離と呼ぶことが多いようです。

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217.　Re^5: 多次元正規分布の下で，ある範囲に落ちる確率　　ぼきゃ偏　　2000/02/02 (水) 15:00

ご多忙の中，リプライどうもありがとうございます。

# それにしても，この掲示板，ものすごい勢いで書き込まれていきますね。

> > ちょっと細かいことですが，マハラノビス距離というのは，
> >
> > d^2 = (x_i - μ)' Σ^(-1) (x_i - μ)
> >
> > という定義式における，(d のことではなくて) d^2 そのものを指すのでしょうか。
>
> そうです。
> ユークリッド距離にも，ユークリッドの二乗距離というのがあるので，正しく言えば「マハラノビスの二乗距離」と言うべきかもしれませんが，d^2 の方がよく使われるので，これをマハラノビスの距離と呼ぶことが多いようです。

分かりました。慣習ということのようですね。

いちおうこの件，一段落させていただきたいと思います。どうもありがとうございました。また何かあったときはよろしくお願いします。

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