有効ケース数を $n$，各ケースの測定値を $X_{i}\ (i = 1，2，\dots ，n)$とすると，以下の式で定義される。

\[ G_m = \left ( \prod_{i=1}^n X_i\right )^{1/n} \] 　上式の両辺の対数を取ると，次式が得られる。

\[ \log G_m = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n \log X_i}{n} \] 　例題：5 つの測定値，2，3，4，7，9 の幾何平均値を求めよ。

　解答：$G_m = ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 9 ) ^{1/5} = 1512 ^{1/5} = 4.32424566$

　 別解として，以下の表のように各 $X_{i}$ の対数を取り，その平均値を求め，指数を求めると，$G_m = \exp (1.46423771) = 4.32424566$。

• 二番目の式は，元の測定値の対数を取ったものの平均値（$\log G_m$）を求め，その指数を取れば幾何平均になる（$\exp( \log G_m )= G_m$ ）ことを表している。
  　対数を取るということは，元の測定値は 0 および負の値は取らないことを表す。すなわち，元の測定値は“比尺度”であることを示唆する。

• 心理学において，“感覚の量が算術級数的に増加するためには，対応する刺激は幾何級数的に増大させねばならない”という Fechner の法則というのがある。したがって，“刺激”の代表値としては，幾何平均が適している。

• 後に触れるが“対数正規分布”に従う変数に対して望ましい代表値であることがわかる。

• 経済現象などで，“5 年間の物価上昇率が 7 % のとき，1 年の物価上昇率はいくつか”という場合に，5 年間の平均上昇率は幾何平均を用いるべきである。

  算術平均値は $7 / 5 = 1.4$ ということになるが，この数値が誤ったものであることは，$( 1 + 0.014 ) ^{5} = 1.071987633$ であることから明らかである（この式は，複利計算の式である）。 　幾何平均は $1.07$ の 5 乗根，すなわち $1.07^{1/5} = 1.013623698$ から，年率 $1.3623698\%$ を得る。

演習問題：

応用問題：