例題：

　「表 1 のように，4 群のサンプル数，平均値，標準偏差（不偏分散の平方根）が計算されている。これから，全体の（4 群をこみにした）平均値，標準偏差を求めなさい。」

計算手順:

1. 群の数が $k$ の場合に，群ごとの有効ケース数 $n_i$，平均値 $\bar{X}_i$，不偏分散 $U_{i}\ (i=1，2，\dots ，k)$ が求められているとする。定義式は以下の通り。

   \[ \bar{X}_i = \frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i} X_{ij}}{n_i} \] \[ U_i = \frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{n_i} \left (X_{ij}-\bar{X}_i \right )^2}{n_i-1} \]

2. 全群をこみにした有効ケース数 $n_t$ は，次式で求められる。

   \[ n_t = \sum_{i=1}^k n_i \] 例題では，$n_t = 8 + 11 + 22 + 6 = 47$

3. 全群をこみにした平均値 $\bar{X}_t$ は，次式で求められる。

   \[ \bar{X}_t = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i\ \bar{X}_i}{n_t} \] 例題では，$\bar{X}_t= \displaystyle\frac{8\cdot135.83 + 11\cdot160.49 + 22\cdot178.35 + 6\cdot188.06}{47} ≒ 168.17212$

4. 全群をこみにした不偏分散 $U_{t}$ は，次式で求められる。

   \[ U_t = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k \left (n_i-1 \right )\ U_i + \displaystyle\sum_{i=1}^k n_i\left (\bar{X}_i-\bar{X}_t \right )^2}{n_t-1} \] 表 1 には標準偏差が与えられていることに注意して，例題では $U_{t} = \displaystyle\frac{ 7\cdot19.59^{2} + 10\cdot12.28^{2} + 21\cdot15.01^{2} + 5\cdot9.81^{2} + 8\cdot( 135.83 - 168.17212)^{2} + 11\cdot( 160.49 - 168.17212)^{2} + 22\cdot( 178.35 - 168.17212)^{2} + 6\cdot( 188.06 - 168.17212)^{2}}{46} = 501.657385$

   よって，全群をこみにしたときの標準偏差は 501.657385 の平方根をとって 22.3977094 である。

R による計算例

> n <- c(8, 11, 22, 6)
> M <- c(135.83, 160.49, 178.35, 188.06)
> SD <- c(19.59, 12.28, 15.01, 9.81)
> $U$ <- SD^2
> nt <- sum(n)
> Mt <- sum(n*M)/nt
> Ut <- (sum((n-1)*U)+sum(n*(M-Mt)^2))/(nt-1)
> SDt <- sqrt(Ut)
> cat(nt, Mt, Ut, SDt, sep=", ")
47, 168.1721, 501.6574, 22.39771

関数にすると
> func <- function(n, M, U)
+ {
+ 	nt <- sum(n)
+ 	Mt <- sum(n*M)/nt
+ 	Ut <- (sum((n-1)*U)+sum(n*(M-Mt)^2))/(nt-1)
+ 	SDt <- sqrt(Ut)
+ 	cat(nt, Mt, Ut, SDt, sep=", ")
+ }
> n <- c(8, 11, 22, 6)
> M <- c(135.83, 160.49, 178.35, 188.06)
> SD <- c(19.59, 12.28, 15.01, 9.81)
> func(n, M, SD^2)
47, 168.1721, 501.6574, 22.39771

演習問題：

応用問題：