1. 生存率を左右する共変量が $p$ 個あるとする。$\matrix{X} = (X_{1}，X_{2}， \dots ，X_{p} )'$。

   　また，共変量の平均値ベクトル $\matrix{\bar{X}}$ と平均偏差ベクトル $\matrix{Z}$ をそれぞれ，

   \[ \matrix{\bar{X}} = \left (\bar{X}_1, \bar{X}_2, \dots, \bar{X}_p \right )' \] \[ \matrix{Z} = \left (X_1-\bar{X}_1, X_2-\bar{X}_2, \dots, X_p-\bar{X}_p \right )' \] とする。

2. 生存率を表す関数は以下のように定義される。
   • ハザード関数

     \[ \lambda(t\ ; \matrix{Z}) = \lambda_0(t)\ \exp \left (\matrix{\beta}\;'\matrix{Z} \right ) \]

   • 生存率関数

     \[ S(t\ ; \matrix{Z}) = S_0(t)^{\exp \left (\matrix{\beta}\;'\matrix{Z} \right )} \]

   $\lambda_{0} ( t ) ，S_{0} ( t )$ は，共変量が平均値をとったときの瞬間死亡率と生存率である。

   生存率関数は，共変量ベクトル $\matrix{X} = (X_{1}，X_{2}， \dots ，X_{p} )'$ を持つ特定の症例の，時間 $t$ における生存率を表す。

   ハザード関数が，時間 $t$ に依存する部分と共変量に依存する部分に分解されている点がこのモデルの特徴である。

3. ハザード関数はまた，次式のようにも表せる。

   \[ \log \left \{ \frac{\lambda(t\ ; \matrix{Z})}{\lambda_0(t)} \right \} = \beta_1\left (X_1-\bar{X}_1\right ) + \beta_2\left (X_2-\bar{X}_2\right ) + \dots + \beta_p\left (X_p-\bar{X}_p\right ) \] \[ \frac{\lambda(t\ ; \matrix{Z})}{\lambda_0(t)} = \exp \left \{\beta_1\left (X_1-\bar{X}_1\right ) + \beta_2\left (X_2-\bar{X}_2\right ) + \dots + \beta_p\left (X_p-\bar{X}_p\right ) \right \} \tag{1} \] ある特定の共変量ベクトル $\matrix{X}$ を持つ症例と，共変量ベクトル $\matrix{\bar{X}}$ を持つ平均的症例について，（ 1 ）式は前者の後者に対するハザード比を表している。

   共変量 $X_{i}$ が特定の値をとり他の共変量が平均値である場合は，次式によって，共変量 $X_{i}$ のハザード $\exp\left \{ \beta_i\ \left (X_i-\bar{X}_i\right ) \right \}$ が得られる。

   また，相異なる共変量の値に対するハザードの比は，ハザード比を表す。

4. モデルに含まれるパラメータ $\matrix{\beta}\; ' = \ \left ( \beta_{1}，\beta_{2}， \dots ，\beta_{p} \right )$ は最尤法により推定する。

参考文献

1. Cox, D. R.: Regression models and life tables. J. R. Stat. Soc. [B], 34 , 187 - 220, 1972.

2. Kalbfleisch, J. D. and Prentice, R. L.: Marginal likelihoods based on Cox's regression and life model. Biometrika, 60 , 267 - 278.

演習問題：

応用問題：