1. 尤度は (1) 式になる。

   \[ \begin{align*} L &= \prod_{i=1}^n \left [\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp \left \{ -\frac{(X_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right \} \right ] \\ &= \left (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right )^n \left (\frac{1}{\sigma^2} \right )^{n/2} \exp \left \{ -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2\right \} \tag{1} \end{align*} \]

2. 対数尤度は (2) 式になる。

   \[ \log L = n \log \left (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right ) +\frac{n}{2}\log \left (\frac{1}{\sigma^2} \right ) -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \tag{2} \]

3. (2) 式を $\mu$ で偏微分して右辺を 0 とおく。

   \[ \frac{\partial \log L}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu) = 0 \tag{3} \]

4. (3) 式を解いて $\mu$ の最尤推定値を得る。

   \[ \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \bar{X} \tag{4} \]

5. また，

   \[ \frac{\partial \log L}{\partial \sigma^2} = -\frac{1}{2\sigma^2}\left \{ n -\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n \left (X_i-\mu \right )^2 \right \} = 0 \tag{5} \] となるときの $\sigma^{2}$ が $\sigma^{2}$ の最尤推定値であるから，

   \[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left (X_i-\mu \right )^2 \tag{6} \] である。（4）式の結果を用いて，$\sigma^{2}$ の最尤推定値を得る。

   \[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left (X_i-\bar{X} \right )^2 = V \tag{7} \]

　以上述べたことから明らかに，最尤法により $\mu$，$\sigma^{2}$ を同時に推定するとき，$\sigma^{2}$ の最尤推定値は $V$ であり，不偏性の基準は満たさない（不偏分散 $U$ ではない）。