例題：

　「表 1 において，変数 $X$と変数 $Y$の間のスピアマンの順位相関係数を求めなさい。」

計算手順：

1. ケース数を $n$ とする。

2. 変数 $X$と変数 $Y$について，小さい方から順位をつける。同順位がある場合には平均順位をつける。

3. 両者の順位の差をとり，$d_{i}$ とする（$\displaystyle \sum_{i=1}^n d_{i} = 0$）。

4. $\displaystyle \sum_{i=1}^n d_{i}^{2}$ は 2 変数の順序の一致性の指標である。
   • 2 変数の順序が完全に一致するときには，$\displaystyle \sum_{i=1}^n d_{i}^{2} = 0$ である。

   • 2 変数の順序が逆順に完全に一致するときには，$\displaystyle \sum_{i=1}^n d_{i}^{2} = \frac{n^{3} - n }{3}$ である。

   このようなことから，次式を定義すれば， $- 1 \leqq r_{s} \leqq 1$ となる。これがスピアマンの順位相関係数である。 \[ r_s = 1-\frac{\displaystyle 6 \sum_{i=1}^n d_{i}^{2}}{n^3-n} \] 例題では，$\displaystyle \sum_{i=1}^n d_{i}^{2} = 24$ であるから，$r_{s} = 1 - \displaystyle \frac{6\times 24}{ 1000 - 10 } = 0.85455$ となる。

   • 相関係数が正の場合「二変数には正の相関関係がある」という（正相関）
   • 相関係数が負の場合「二変数には負の相関関係がある」という（負相関）
   • 相関係数が０に近いとき「二変数は無相関である」という

注：

• どちらか一方（または両方）の変数において全てのケースが同一の値をとる場合には，スピアマンの順位相関係数は定義できない。

• 同順位がある場合には，変数 $X$，変数 $Y$における同順位の個数を $n_x$ ，$n_y$ ，同順位の大きさを $t_{i}$ ，$t_{j}$ $(i = 1, 2, \dots , n_x$；$j = 1, 2, \dots , n_y)$ としたとき，次式で計算される。同順位がない場合には $\displaystyle \sum_{i=1}^{n_x} \left (t_i^3-t_i \right )=0$，$\displaystyle \sum_{j=1}^{n_y} \left (t_j^3-t_j \right )=0$ となり，前式に等しくなる。 \[ \begin{align*} & r_s = \frac{T_x+T_y-\displaystyle \sum_{i=1}^n d_i^2}{2\sqrt{T_x\ T_y}} \\ & T_x = \frac{\left (n^3-n \right )-\displaystyle \sum_{i=1}^{n_x}\ \left (t_i^3-t_i \right )}{12} \\ & T_y = \frac{\left (n^3-n \right )-\displaystyle \sum_{j=1}^{n_y}\ \left (t_j^3-t_j \right )}{12} \\ \end{align*} \]

演習問題：

　「表 3 において，変数 $X$ と変数 $Y$ の間のスピアマンの順位相関係数を求めなさい。」

問題1　$T_{x}$ を求め解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　$\displaystyle \sum_{i=1}^{10} d^{2}$ を求め解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　$r_{s}$ を求めなさい。答えは小数点以下 5 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題：

　「表 2 における変数 $X$，$Y$ の順位をデータとみなしてピアソンの積率相関係数を求めて，スピアマンの順位相関係数（ $r_{s} = 0.85455$ ）と比較しなさい。」

問題1　どのようになったか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：誤差範囲で同じ
b：値は異なる

解答欄：