例題：

　「表 1 において，変数 $X$ と変数 $Y$ の間のケンドールの順位相関係数を求めなさい。」

計算手順：

1. ケース数を $n$ とする。

2. 変数 $X$ と変数 $Y$ について小さい方から順位をつけ，変数 $X$ について小さい順に並べ変える（同順位の場合には平均順位をつける）。

3. $Y_{i}\ (i = 1, 2, \dots , n - 1)$ について，$Y_{i} \lt Y_{j}$ の個数を $P_{i}$ ，$Y_{i} \gt Y_{j}$ の個数を $Q_{i}$ とする$(j = i + 1, i + 2, \dots , n)$。

   例えば，表 2 に示すように，$X_{5}$ に対する $Y$ の順位は $7$ であり，それより右にある $Y$ の順位のうち，大きいものは $Y_{8}, Y_{9}, Y_{10}$ の $3$ 個（$P_{5} = 3$），小さいものは $Y_{6}, Y_{7}$ の $2$ 個（$Q_{5} = 2$）。

   $P_{i} + Q_{i} = n - i$，$\sum ( P_{i} + Q_{i} ) = \displaystyle \frac{n\ ( n - 1 )}{2}$ となることに注意。

4. $\sum P_{i}$ は $2$ 変数の順位の方向が一致する回数，$\sum Q_{i}$ は $2$ 変数の順位の方向が逆方向に一致する回数なので，$\sum P_{i} - \sum Q_{i}$ は順序の一致性の指標である。
   • $2$ 変数の順序が完全に一致するときには，$\sum P_{i} =\displaystyle \frac{n\ (n-1)}{2}$，$\sum Q_{i} = 0$ である。

   • $2$ 変数の順序が逆順に完全に一致するときには，$\sum P_{i} = 0$，$\sum Q_{i} = \displaystyle \frac{n\ (n-1)}{2}$ である。

   このようなことから，$(1)$ 式を定義すれば， $- 1 \leqq r_{k} \leqq 1$ となる。これがケンドールの順位相関係数である。 \[ r_k = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} P_i - \sum_{i=1}^{n-1} Q_i} {\displaystyle \frac{n\ (n-1)}{2}} \tag{1} \] 例題では，$\sum P_{i} = 37$，$\sum Q_{i} = 8$ なので，$\displaystyle r_{k} = \frac{37 - 8 }{ 10\cdot 9\ /\ 2 } = 0.64444$ となる。

   • 相関係数が正の場合「二変数には正の相関関係がある」という（正相関）
   • 相関係数が負の場合「二変数には負の相関関係がある」という（負相関）
   • 相関係数が $0$ に近いとき「二変数は無相関である」という

注：

• どちらか一方（または両方）の変数において全てのケースが同一の値をとる場合には，相関係数は定義できない。

• 同順位がある場合には，変数 X，変数 $Y$における同順位の個数を $n_{x}$ ，$n_{y}$ ，同順位の大きさを $t_{i}, t_{j}\ (i = 1, 2, \dots , n_{x};\ j = 1, 2, \dots , n_{y} )$ としたとき，次式で計算される。同順位がない場合には $T_{x} = T_{y} = 0$ となり，$(1)$ 式に等しい。 \[ \begin{align*} & r_k = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} P_i - \sum_{i=1}^{n-1} Q_i} {\displaystyle \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_x}\ \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_y}} \tag{1} \\ & T_x = \sum_{i=1}^{n_x}\frac{t_i\ (t_i-1)}{2} \tag{2} \\ & T_y = \sum_{j=1}^{n_y}\frac{t_j\ (t_j-1)}{2} \tag{3} \\ \end{align*} \] 注意：上の定義では，変数 $X$と変数 $Y$のいずれかに（両方に）同順位があるかで取り扱いが曖昧になることがある。

  そこで，ケンドールの順位相関係数のもう一つの定義法を示しておく（同順位がない場合は同じ結果が得られる。また，この方法では順位付けをする必要はない）。

  変数の組 $( X_{i}, Y_{i} )$と $( X_{j}, Y_{j} )$ を考える（ $i \ne j$ ）。

  • $X_{i} \gt X_{j}$ かつ $Y_{i} \gt Y_{j}$ のとき $P_{ij} = 1$
  • $X_{i} \lt X_{j}$ かつ $Y_{i} \lt Y_{j}$ のとき $P_{ij} = 1$
  • $X_{i} \gt X_{j}$ かつ $Y_{i} \lt Y_{j}$ のとき $Q_{ij} = 1$
  • $X_{i} \lt X_{j}$ かつ $Y_{i} \gt Y_{j}$ のとき $Q_{ij} = 1$

  として，$\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}$ を求める。

  • 同順位がないとき \[ r_k = \frac{\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}}{n\ (n-1)} \]
  • 同順位があるとき \[ r_k = \frac{\displaystyle \frac{\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}}{2}} {\displaystyle \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_x}\ \sqrt{\frac{n\ (n-1)}{2}-T_y}} \] 　　$T_{x}$ ， $T_{y}$ は $(2)$，$(3)$ 式の通り。

演習問題：

　「表 3 において，変数 $X$ と変数 $Y$ の間のケンドールの順位相関係数を求めなさい。」

問題1　$T_{x}$ を求め解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　$\sum P_{ij} - \sum Q_{ij}$ を求め解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　$r_{k}$ を求めなさい。答えは小数点以下 5 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題：