分布関数 $F ( x )$ は，次のような基本的条件を満たす関数である。

1. $x' \lt x' '$ ならば　$F ( x') \leqq F ( x' ')$ であること。

   すなわち，$F ( x )$ は単調非減少関数である。

2. $F ( - \infty ) = 0，　F ( + \infty ) = 1$ であること。

   すなわち，$F ( x )$ は $x \rightarrow \pm \infty$ において極限を持つこと，および，$F ( x )$ は非負であること。

3. 不連続点における $F ( x )$ の値をどのように決めるかは任意であるが，便宜上 $F ( x + 0 ) = F ( x )$ つまり，‘右から連続’と約束する。

図 1．分布関数 $F( x )$

　以上のような各性質を持つ関数のうちで，実用的な価値を持つものは次の 2 種である。

1. 絶対連続な関数

   　至るところ連続で，$F'( x ) = f ( x )$ が存在し，かつそれが有限個の点以外では，全ての点で連続である。

   　$f ( x )$ を $F$ の密度関数という。

   図 2．連続変数の分布関数と密度関数

2. 階段関数

   　不連続点 $x_{i}$ で，それぞれ $p_{i}$ ずつ飛躍する。

   　つまり，$p_{i} = F ( x_{i} ) - F ( x_{i} - 0 )$ である。

   　確率関数は $f ( x_{i} ) = p_{i}$ である。

   図 3．離散変数の分布関数と確率関数

演習問題：

応用問題：