記号としての演算子 $E$，$V$ を次のように定めると都合がよい。 \[ E(x^r) = \sum x_i^r\ p_i \] または \[ E(x^r) = \int_{-\infty}^\infty x^r\ f(x)\ dx \] ただし，$r = 0, 1, 2, \dots$

　母平均，母分散は次式のように表すことができる。 \[ \mu = E(x) \] \[ \sigma^2 = E\left \{ \left[ x-E(x) \right]^2 \right \} = E(x^2)-\left[E(x)\right]^2 = V(x) \]

演算規則は以下の通りである。

$a$, $b$, $c$ は定数，$\sigma_{xy}$ は $x$ ，$y$ の共分散，式中の復号は同順。

• $E ( c ) = c$

• $E ( c\ x ) = c\ E ( x )$

• $E ( c\ x + a) = c\ E ( x ) + a$

• $E ( x \pm y ) = E ( x ) \pm E ( y )$

• $E ( a\ x \pm b\ y ) = a\ E ( x ) \pm b\ E ( y )$

• $E ( x\ y ) = E ( x ) \ E ( y ) + \sigma_{xy}$

• $E ( x\ y ) = E [ x\ E ( y\ |\ x ) ] = E [ y\ E ( x\ |\ y ) ]$

  ここで，$E ( x\ |\ y )$ は，$y$ が与えられたときの $x$ の期待値であり，$y$ のもとでの $x$ の条件付き期待値と呼ぶ。

• $V ( c ) = 0$

• $V ( x + c ) = V ( x )$

• $V ( c\ x ) = c^{2}\ V ( x )$

• $V ( x \pm y ) = V ( x ) + V ( y ) \pm 2\, \sigma_{xy}$

• $V ( a\ x \pm b\ y ) = a^{2}\ V ( x ) + b^{2}\ V ( y ) \pm 2\, a\, b\, \sigma_{xy}$

演習問題：

応用問題：