例題2     Last modified: May 16, 2002

例題: 確率変数 $x$ が,区間 $[ 0, 1 ]$ において確率分布 $f ( x ) = 3 x^{2}$ に従う(脚注参照)とき,$x$ の母平均 $\mu$,母分散 $\sigma^{2}$ を求めよ。


: \[ \mu = \int_0^1 x\cdot 3\ x^2\ dx = \left[ \frac{3\ x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{3}{4} \] \[ \sigma^2 = \int_0^1 x^2\cdot 3\ x^2\ dx - \mu^2 = \left[ \frac{3\ x^5}{5} \right]_0^1 - \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3}{80} \]


注: $f ( x )$ を定義区間にわたって積分したものは $1$ にならなくてはならない。次式が成り立つから,この条件を満たす。 \[ \int_0^1 3\ x^2\ dx = \left[ x^3 \right]_0^1 = 1 \]
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