例題1     Last modified: Aug 26, 2015

例題: 表 1 のデータについて標本平均,標本分散,母平均,母分散を求めなさい。

表 1.2 個のサイコロを振る実験で
出た目の和の分布と理論的な分布

$x_{i}$
度数 相対度数 累積相対度数 確率
$f(x_{i})$
分布関数
$F(x_{i})$
2 23 0.023 0.023 1/36=0.028 1/36=0.028
3 48 0.048 0.071 2/36=0.056 3/36=0.083
4 90 0.090 0.161 3/36=0.083 6/36=0.167
5 101 0.101 0.262 4/36=0.111 10/36=0.278
6 158 0.158 0.420 5/36=0.139 15/36=0.417
7 160 0.160 0.580 6/36=0.167 21/36=0.583
8 135 0.135 0.715 5/36=0.139 26/36=0.722
9 122 0.122 0.837 4/36=0.111 30/36=0.833
10 87 0.087 0.924 3/36=0.083 33/36=0.917
11 50 0.050 0.974 2/36=0.056 35/36=0.972
12 26 0.026 1.000 1/36=0.028 36/36=1.000
合計 1000 1.000 1.000


: 1000 個の標本について,標本平均 $\bar{X}$,標本分散 $V$ は, $\bar{X} = ( 2 \cdot 23 + 3 \cdot 48 + 4 \cdot 90 + 5 \cdot 101 + 6 \cdot 158 + 7 \cdot 160 + 8 \cdot 135 + 9 \cdot 122 + 10 \cdot 87 + 11 \cdot 50 + 12 \cdot 26 ) / 1000 = 7.033$ $V = ( 2^{2} \cdot 23 + 3^{2} \cdot 48 + 4^{2} \cdot 90 + 5^{2} \cdot 101 + 6^{2} \cdot 158 + 7^{2} \cdot 160 + 8^{2} \cdot 135 + 9^{2} \cdot 122 + 10^{2} \cdot 87 + 11^{2} \cdot 50 + 12^{2} \cdot 26 ) / 1000 - 7.033^{2} = 5.569911$

> x <- 2:12
> f <- c(23, 48, 90, 101, 158, 160, 135, 122, 87, 50, 26)
> n <- sum(f)
> X <- sum(f*x)/n
> X
[1] 7.033
> V <- sum(f*x^2)/n-X^2
> V
[1] 5.569911
> V <- sum(f*(x-X)^2)/n # 精度的にはこちらを推奨
> V
[1] 5.569911

 また,母平均 $\mu$,母分散 $\sigma^{2}$ は,
$\mu = 2 \cdot 1 / 36 + 3 \cdot 2 / 36 + 4 \cdot 3 / 36 + 5 \cdot 4 / 36 + 6 \cdot 5 / 36 + 7 \cdot 6 / 36 + 8 \cdot 5 / 36 + 9 \cdot 4 / 36 + 10 \cdot 3 / 36 + 11 \cdot 2 / 36 + 12 \cdot 1 / 36 = 7$ $\sigma^{2} = ( 2^{2} \cdot 1 / 36 + 3^{2} \cdot 2 / 36 + 4^{2} \cdot 3 / 36 + 5^{2} \cdot 4 / 36 + 6^{2} \cdot 5 / 36 + 7^{2} \cdot 6 / 36 + 8^{2} \cdot 5 / 36 + 9^{2} \cdot 4 / 36 + 10^{2} \cdot 3 / 36 + 11^{2} \cdot 2 / 36 + 12^{2} \cdot 1 / 36 - 7^{2} = 35 / 6 = 5.83333333$

> f <- c(1:6, 5:1)/36
> f
 [1] 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111
 [9] 0.08333333 0.05555556 0.02777778
> mu <- sum(f*x)
> mu
[1] 7
> sigma2 <- sum(f*x^2)-mu^2
> sigma2
[1] 5.833333
> sigma2 <- sum(f*(x-mu)^2) # 精度的にはこちらを推奨
> sigma2
[1] 5.833333


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