例題：　表 1 のデータについて標本平均，標本分散，母平均，母分散を求めなさい。

解：　1000 個の標本について，標本平均 $\bar{X}$，標本分散 $V$ は， $\bar{X} = ( 2 \cdot 23 + 3 \cdot 48 + 4 \cdot 90 + 5 \cdot 101 + 6 \cdot 158 + 7 \cdot 160 + 8 \cdot 135 + 9 \cdot 122 + 10 \cdot 87 + 11 \cdot 50 + 12 \cdot 26 ) / 1000 = 7.033$ $V = ( 2^{2} \cdot 23 + 3^{2} \cdot 48 + 4^{2} \cdot 90 + 5^{2} \cdot 101 + 6^{2} \cdot 158 + 7^{2} \cdot 160 + 8^{2} \cdot 135 + 9^{2} \cdot 122 + 10^{2} \cdot 87 + 11^{2} \cdot 50 + 12^{2} \cdot 26 ) / 1000 - 7.033^{2} = 5.569911$

> x <- 2:12
> f <- c(23, 48, 90, 101, 158, 160, 135, 122, 87, 50, 26)
> n <- sum(f)
> X <- sum(f*x)/n
> X
[1] 7.033
> V <- sum(f*x^2)/n-X^2
> V
[1] 5.569911
> V <- sum(f*(x-X)^2)/n # 精度的にはこちらを推奨
> V
[1] 5.569911

　また，母平均 $\mu$，母分散 $\sigma^{2}$ は，
$\mu = 2 \cdot 1 / 36 + 3 \cdot 2 / 36 + 4 \cdot 3 / 36 + 5 \cdot 4 / 36 + 6 \cdot 5 / 36 + 7 \cdot 6 / 36 + 8 \cdot 5 / 36 + 9 \cdot 4 / 36 + 10 \cdot 3 / 36 + 11 \cdot 2 / 36 + 12 \cdot 1 / 36 = 7$ $\sigma^{2} = ( 2^{2} \cdot 1 / 36 + 3^{2} \cdot 2 / 36 + 4^{2} \cdot 3 / 36 + 5^{2} \cdot 4 / 36 + 6^{2} \cdot 5 / 36 + 7^{2} \cdot 6 / 36 + 8^{2} \cdot 5 / 36 + 9^{2} \cdot 4 / 36 + 10^{2} \cdot 3 / 36 + 11^{2} \cdot 2 / 36 + 12^{2} \cdot 1 / 36 - 7^{2} = 35 / 6 = 5.83333333$

> f <- c(1:6, 5:1)/36
> f
 [1] 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111
 [9] 0.08333333 0.05555556 0.02777778
> mu <- sum(f*x)
> mu
[1] 7
> sigma2 <- sum(f*x^2)-mu^2
> sigma2
[1] 5.833333
> sigma2 <- sum(f*(x-mu)^2) # 精度的にはこちらを推奨
> sigma2
[1] 5.833333