ガンマ関数は，あらゆる実数 $\lambda\ ( \lambda \gt 0)$ について，次の積分によって定義される。 \[ \Gamma(\lambda) = \int_0^\infty x^{\lambda-1}\ e^{-x}\ dx \] 　この式を部分積分することにより，$\Gamma ( \lambda ) = ( \lambda - 1 )\ \Gamma ( \lambda - 1 ) ,\ \lambda \geqq 2$ という関係が導かれる。

　$\lambda$ が正の整数のときは，$\Gamma ( \lambda ) = ( \lambda - 1 ) !$ が成り立つ。