二次元正規分布の概形は図 1 に示すような山形である。

図 1．二次元正規分布の概形

　$x$，$y$ の分布の母分散を $\sigma_{x}^2$，$\sigma_{y}^2$ とする。母共分散 を $\sigma_{xy}$ とする。

　このとき，二次元正規分布の密度関数は次式で表される。

\[ f(x, y) = \frac{1}{2\ \pi \ \sigma_x \ \sigma_y\sqrt{1-\rho_{xy}^2}}\ \exp \left [ - \frac{1}{2(1-\rho_{xy}^2)} \left \{ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + 　 \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - 　 \frac{2\ \rho_{xy}\ (x-\mu_x)\ (y-\mu_y)}{\sigma_x\ \sigma_y} \right \} \right ] 　\] 　上式の指数部を $-c^2\ /\ 2$ とおく，すなわち， 　\[ 　 \frac{1}{2(1-\rho_{xy}^2)} \left \{ \frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2} + 　 \frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2} - 　 \frac{2\ \rho_{xy}\ (x-\mu_x)\ (y-\mu_y)}{\sigma_x\ \sigma_y} \right \} 　 = \frac{c^2}{2} 　\] とすると，これは相似な楕円を表すことになる。さらに，楕円上の点 $(x, y)$ は全て， \[ f(x, y) = \frac{1}{2\ \pi \ \sigma_x \ \sigma_y\sqrt{1-\rho_{xy}^2}}\ e^{-c^2/\ 2} \] という確率を持つ。このため，これを 等確率楕円 または 集中楕円 と呼ぶ（図 1 の下の部分にある同心楕円）。

　等確率楕円の内側の点の全確率は $\displaystyle 1 - e^{\displaystyle - c^2\ /\ 2}$ になることが示される。

演習問題：

応用問題：