例題：

　「ある製造ラインから製造される製品 10 個の重量を測定したとき，標本不偏分散が 4.5 であった。正常な場合には分散（母分散）は 2.1 であることがわかっている。現在の製造ラインは正常であるといえるだろうか。有意水準 5% で検定を行いなさい。」

検定手順：

1. 前提
   • 帰無仮説 H₀：「母分散がある値である（$\sigma^2 = \sigma^2_0$）」。
   • 対立仮説 H₁：「母分散がある値とは異なる（$\sigma^2 \ne \sigma^2_0$）」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. 以下のいずれかによって検定統計量 $\chi^2_0$ を求める。
   1. 母平均が未知の場合

      母分散が $\sigma^2_0$ の正規母集団から抽出された $n$ ケースの不偏分散を $U$ とすると，次式の $\chi^2_0$ は，自由度が $n - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。

      \[ \chi_0^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{\sigma_0^2} = \frac{(n-1)U}{\sigma_0^2} \] 例題では母平均が与えられていないので，こちらの計算式を使うことになる。
      $\chi^2_0 = ( 10 - 1 ) \cdot 4.5\ /\ 2.1 = 19.285714$ である。

   2. 母平均が既知の場合

      母平均が $\mu$，母分散が $\sigma^2_0$ の正規母集団からケース数 $n$ の標本が抽出されたとき，次式の $\chi^2_0$ は，自由度が $n$ の $\chi^2$ 分布に従う。

      \[ \chi_0^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2} \]

3. 有意確率 $P$ を求める。

   $p = \Pr\{\chi^2 \geqq \chi^2_0\}$ として，

   1. $p > 0.5$ のとき … $P = 2 \times (1 - p)$

   2. $p < 0.5$ のとき … $P = 2 \times p$

   $\chi^2$分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，自由度 $9$ の $\chi^2$ 分布において，$P = 2 \times \Pr\{\chi^2 \geqq 19.285714\}= 2 \times 0.0228702 = 0.0457404$ である。

4. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P > \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母分散はある値と異なるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母分散はある値と異なる」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P < \alpha$ であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「母分散は $2.1$ とは異なる」といえる。

演習問題：

　「被検者 10 人に対して，新しい方法で授業を行った後で試験を行った結果が表 1 のようになった。従来の方法で授業を行った後での試験の成績は，平均値が 72.3 点，分散が 54.6 であることがわかっている。新しい授業は母分散を変化させたと言えるだろうか。有意水準 5% で検定を行いなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b，c，d のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：新しい授業法により得点の母分散は大きくなった
b：新しい授業法により得点の母分散は小さくなった
c：新しい授業法と従来の授業法で，得点の母分散に変化はなかった
d：新しい授業法と従来の授業法で，得点の母分散に変化があった


解答欄：　　　　

選択肢
a：母平均が既知の場合
b：母平均が未知の場合


解答欄：　　　　

問題3　$\chi^2$ 検定統計量を求め，小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　求められた $\chi^2$ 検定統計量は，自由度いくつの $\chi^2$ 分布に従うか，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題5　有意確率を求め，小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題6　有意水準 5% で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題7　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：得点の母分散に変化があったとはいえない
b：得点の母分散に変化があった

解答欄：　　　　

応用問題：