例題：

　「31 人の身長の平均値が 157.8 cm，不偏分散が 24.6 であった。母平均が 156.2 cm であるかどうかを，有意水準 5% で検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「$\mu=\mu_{0}$（母平均は $\mu_{0}$ である）」。
   • 対立仮説 $H_1$：「$\mu \ne \mu_{0}$（母平均は $\mu_{0}$ ではない）」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. 母分散が既知か未知かでいずれかの方法をとる。
   • 母分散が未知の場合
     1. 母平均，ケース数，標本平均，標本不偏分散を，それぞれ $\mu_{0}$，$n$，$\bar{X}$，$U$ とする。

        例題では，$\mu_{0} = 156.2$，$n = 31$，$\bar{X} = 157.8$，$U = 24.6$ である（$\sigma^{2}$ は不明である）。

     2. 次式で $t_{0}$ 検定統計量を計算する。

        \[ t_0 = \frac{\left | \bar{X}-\mu_0 \right |} {\sqrt{\displaystyle \frac{U}{n}}} \] 例題では，$t_{0} = 1.796$ である。

     3. $t_{0}$ は，自由度が $n - 1$ の $t$ 分布に従う。

        例題では，自由度が $30$ の $t$ 分布に従う。

     4. 有意確率を $P = \Pr\{｜t｜ \geqq t_{0}\}$ とする。
        $t$ 分布表，または $t$ 分布の両側確率の計算を参照すること。

        例題では，自由度 $30$ の $t$ 分布において，$\Pr\{｜t｜\geqq 2.042\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{｜t｜\geqq 1.796\}> 0.05 $である（正確な有意確率：$P = 0.0825$）。

   • 母分散が既知の場合
     1. 母平均，母分散，ケース数，標本平均を，それぞれ $\mu_{0}$，$\sigma^{2}$，$n$，$\bar{X}$ とする。

     2. 次式で $Z_{0}$ 検定統計量を計算する。

        \[ Z_0 = \frac{\left | \bar{X}-\mu_0 \right |} {\sqrt{\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}}} \]

     3. $Z_{0}$ は，正規分布に従う。

     4. 有意確率を $P = \Pr\{｜Z｜ \geqq Z_{0}\}$ とする。
        正規分布表，または正規分布の上側確率の計算を参照すること。

3. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P > \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母平均は $\mu_{0}$ ではないとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母平均は $\mu_{0}$ ではない」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P > \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「母平均 は156.2 cm でないとはいえない」といえる。

R で計算してみる

演習問題：

　「31 人の身長の平均値が 157.8 cm，不偏分散が 24.6 であった。母集団については，母平均 156.2 cm，母分散 = 25.5 であることが分かっているとする。標本平均は母平均と異なるといえるか有意水準 5% で検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：母平均は 156.2 cm である
b：母平均は 156.2 cm ではない

解答欄：　　　　

問題2　$Z_{0}$ 統計量を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題4　有意水準 5% で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題5　結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：母平均は 156.2 cm ではないとはいえない
b：母平均は 156.2 cm ではない

解答欄：　　　　

R で計算してみる

応用問題：

　10 個の測定値がある。母平均が 10 であるかどうか検定しなさい。

　　　　測定値： 9.7, 10.3, 9.6, 7.7, 10.2, 10.6, 10.4, 11.4, 7.8, 8.6

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