N. Mantel and W. R. Bryan ( 1961 ) : "Safety" testing of carcinogenic agents. JNCI, 27 , 455 - 470.
以下の 4 通りの場合について考える。
いずれの場合も，母比率（ 母発癌率 ）の信頼限界値を求めることが第一歩である。
サンプルサイズ（ 実験動物数 ）を $N$，発癌数を $R$，母比率（ 母発癌率 ）を $P$，母比率の片側上側 99% 信頼限界値を $P_u$，片側下側 99% 信頼限界値を $P_l$ とする。
発癌数は（ 22 ）式に示す二項分布に従う。
\[ \Pr\{R=r\} = {}_NC_R\ P^R\ \left (1-P\right )^{N-R} \tag{22} \]
( イ ) ， ( ロ ) の場合，$P$ の 99% 片側上側信頼限界値は，（ 23 ）式を $P$ について解くことにより得られる。
\[ \sum_{i=0}^r\ {}_NC_i\ P^i\ \left (1-P\right )^{N-i} = 0.01 \tag{23} \] ( イ ) の場合は（ 23 ）式は（ 24 ）式のように簡単になり，$P$ について解くことにより（ 25 ）式が得られる。
\[ \begin{align*} (1-P)^N = 0.01 \tag{24} \\[5pt] P_u = 1-\sqrt[N]{0.01} \tag{25} \end{align*} \] ( ロ ) の場合，数値的に（ 23 ）式を解くには，二分法などに依らねばならない。
マンテル・ブライアンの原著にある別法は，二項分布表により $P_u（ P_l ）$ の近辺の 2 点から内挿（ 外挿 ）により求めようというものであるが，必要な $N$，$R$，$P$ に関する表が常に手もとにあるということは期待薄であろう。
この場合には，$F$ 分布を使用することにより，同一の解が求められる。
$\nu_1 = 2 ( R + 1 )$ ，$\nu_2 = 2 ( N - R )$ ，$F_u$ は自由度 $( \nu_1，\nu_2 )$ ，有意水準 $0.01$ の $F$ 分布の値
$\nu_1’ = 2 ( N - R + 1 )$ ，$\nu_2’ = 2R$，$F_l$ は自由度 $( \nu_1’，\nu_2’ )$ ，有意水準 $0.01$ の $F$ 分布の値
としたとき，（ 26 ），（ 27 ）式により求めることができる。
\[ \begin{align*} &P_u = \displaystyle \frac{\nu_1\ F_u}{\nu_1\ F_u+\nu_2} \tag{26} \\[5pt] &P_l = \displaystyle \frac{\nu_2'}{\nu_1'\ F_l+\nu_2'} \tag{27} \end{align*} \] $F$ 分布による場合には $F$ 表の補間が必要となる（ $F$ 分布を数値計算出来れば問題はない ）。
$F ( \nu_1,\nu_2 )$ を求めるとき，$\nu_i \lt \nu_1 \lt \nu_j$ である $F_i = F ( \nu_i,\nu_2 )$ ，$F_j = F ( \nu_j,\nu_2 )$ が与えられると，（ 28 ）式で補間できる。$\nu_1 \gt 120$ のときは，$\nu_i＝120$，$\nu_j＝\infty$ とすればよい。
\[ F(\nu_1, \nu_2) = F_j+\frac{\displaystyle \frac{1}{\nu_1} - \frac{1}{\nu_j}}{\displaystyle \frac{1}{\nu_i} - \frac{1}{\nu_1}}(F_i-F_j) \tag{28} \] コンピュータを使用するのが最も簡便な方法である。
( ハ ) の場合は，まず，処理群において，（ 26 ）式で片側上側 99% 信頼限界値 $P_t$ を求める。
次に，対照群において，（ 27 ）式により片側下側 99% 信頼限界値 $P_c$ を求める。
次に，（ 29 ），（ 30 ）式の Abbott の式により真の発癌率 $P_t'$ の推定値を求める。
\[ \begin{align*} & P_t = P_c+P_t'\ (1-P_c) \tag{29} \\[5pt] & P_t' = \frac{P_t-P_c}{1-P_c} \tag{30} \end{align*} \]
( ニ ) の場合は，各用量群毎に ( 対照群は除く ) （ 26 ）式で片側上側 99% 信頼限界値を求める。
更に，理論的に矛盾が生じない場合に処理群をプールしたときについても同様に片側上側 99% 信頼限界値を求める。
片側上側信頼限界値が求められたら，次は，この比率に対応するプロビット値を求める。正規分布表を使用するか，数値的に計算する。
次に，用量が 1 / 10 になるとプロビット値が 1 減少するような，傾き 1 のプロビットラインを考え，比例配分により VSD を決定する。
( ニ ) の場合には複数個の VSD 値が得られるので，この内で最も大きなVSD値を採用する。
直前のページへ戻る E-mail to Shigenobu AOKI